Математик решает старейшую задачу алгебры, используя новые интригующие числовые последовательности

Математик из Университета Нового Южного Уэльса в Сиднее открыл новый метод решения старейшей задачи алгебры — решения высших полиномиальных уравнений.

Полиномы — это уравнения, включающие переменную, возведенную в степень, например, полином второй степени: 1 + 4x – 3x 2 = 0.

Уравнения имеют основополагающее значение как для математики, так и для науки, где они имеют широкое применение, например, помогают описывать движение планет или писать компьютерные программы.

Однако общий метод решения полиномиальных уравнений «высшего порядка», где x возводится в пятую или более высокую степень, исторически оказался неуловимым.

Теперь почётный профессор Университета Нового Южного Уэльса Норман Уайлдбергер представил новый подход с использованием новых числовых последовательностей, описанный в журнале The American Mathematical Monthly совместно с учёным-компьютерщиком доктором Дином Рубином.

«Наше решение заново открывает ранее закрытую книгу в истории математики», — говорит профессор Вильдбергер.

Полиномиальная задача

Решения для многочленов второй степени существуют с 1800 г. до н. э. благодаря вавилонскому «методу завершения квадрата», который развился в квадратную формулу, знакомую многим ученикам математики в старших классах. Этот подход, использующий корни чисел, называемых «радикалами», был позже расширен для решения многочленов третьей и четвертой степени в 16 веке.

Затем, в 1832 году, французский математик Эварист Галуа показал, как математическая симметрия, лежащая в основе методов, используемых для решения многочленов низшего порядка, становится невозможной для многочленов пятой степени и выше. Поэтому, как он полагал, никакая общая формула не может их решить.

С тех пор были разработаны приближенные решения для многочленов более высокой степени, которые широко используются в приложениях, но профессор Вильдбергер утверждает, что они не относятся к чистой алгебре.

Радикальное неприятие нового метода

По его словам, проблема заключается в использовании в классической формуле корней третьей или четвертой степени, которые являются радикалами.

Радикалы обычно представляют иррациональные числа, которые являются десятичными дробями, которые простираются до бесконечности без повторений и не могут быть записаны как простые дроби. Например, ответ на кубический корень из семи, 3 √7 = 1,9129118… простирается вечно.

Профессор Вильдбергер говорит, что это означает, что настоящий ответ никогда не может быть полностью вычислен, поскольку «для этого потребуется бесконечное количество работы и жесткий диск, больший, чем Вселенная».

Итак, когда мы предполагаем, что 3 √7 «существует» в формуле, мы предполагаем, что эта бесконечная, никогда не заканчивающаяся десятичная дробь каким-то образом является законченным объектом.

Вот почему, по словам профессора Вильдбергера, он «не верит в иррациональные числа».

По его словам, иррациональные числа основаны на неточном понятии бесконечности и приводят к логическим проблемам в математике.

Отказ профессора Вильдбергера от радикалов вдохновил его самые известные вклады в математику, рациональную тригонометрию и универсальную гиперболическую геометрию. Оба подхода опираются на математические функции, такие как возведение в квадрат, сложение или умножение, а не на иррациональные числа, радикалы или функции, такие как синус и косинус.

Его новый метод решения многочленов также позволяет избежать радикалов и иррациональных чисел, полагаясь вместо этого на специальные расширения многочленов, называемые «степенными рядами», которые могут иметь бесконечное число членов со степенями x.

Профессор Вильдбергер утверждает, что путём усечения степенного ряда им удалось извлечь приблизительные числовые ответы, чтобы проверить работоспособность метода.

«Одним из уравнений, которые мы проверили, было знаменитое кубическое уравнение, использованное Уоллисом в 17 веке для демонстрации метода Ньютона. Наше решение сработало великолепно», — сказал он.

Новая геометрия для общего решения

Однако профессор Вильдбергер утверждает, что доказательство метода в конечном итоге основано на математической логике.

Его метод использует новые последовательности чисел, которые представляют сложные геометрические отношения. Эти последовательности относятся к комбинаторике, разделу математики, который занимается числовыми закономерностями в наборах элементов.

Самая известная комбинаторная последовательность, называемая числами Каталана, описывает количество способов разбиения многоугольника (любой фигуры с тремя или более сторонами) на треугольники.

Числа имеют важные практические применения, в том числе в компьютерных алгоритмах, дизайне структур данных и теории игр. Они даже появляются в биологии, где используются для подсчета возможных схем сворачивания молекул РНК. И их можно вычислить с помощью простого двухстепенного полинома.

«Числа Каталонии считаются тесно связанными с квадратным уравнением. Наше новаторство заключается в идее, что если мы хотим решать более сложные уравнения, мы должны искать более высокие аналоги чисел Каталонии».

Работа профессора Вильдбергера расширяет эти каталонские числа с одномерного до многомерного массива на основе количества способов, которыми многоугольник можно разделить с помощью непересекающихся линий.

«Мы нашли эти расширения и показали, как они логически приводят к общему решению полиномиальных уравнений.

«Это кардинальное переосмысление базовой главы по алгебре».

По его словам, даже квинтики — многочлены пятой степени — теперь имеют решения.

По его словам, помимо теоретического интереса, этот метод имеет практические перспективы для создания компьютерных программ, которые могут решать уравнения, используя алгебраические ряды, а не радикалы.

«Это базовые вычисления для большей части прикладной математики, поэтому это возможность улучшить алгоритмы в широком спектре областей».

Неизведанные грани Geode

Профессор Вильдбергер говорит, что новый массив чисел, который он и доктор Рубин назвали «Жеодой», также имеет огромный потенциал для дальнейших исследований.

«Мы вводим принципиально новый массив чисел, Geode, который расширяет классические каталонские числа и, по-видимому, лежит в их основе.

«Мы ожидаем, что изучение этого нового массива Geode вызовет много новых вопросов и обеспечит комбинатористов работой на долгие годы.

«На самом деле, есть так много других возможностей. Это только начало».

Контакты, администрация и авторы